คณิตศาสตร์

"คณิตศาสตร์" คืออะไร คำถามง่ายๆ ที่ตอบยาก..
คณิตศาสตร์
ชื่อย่อ:
Mathematics

คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับ โครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผล ที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและ โครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง, และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน." เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์.
คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ. คำนี้ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคำภาษากรีก (mathema) แปลว่า "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน" และคำว่า (mathematiks) แปลว่า "รักที่จะเรียนรู้". ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths.
ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ ผ่านทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนำไปใช้ทางวิทยา ศาสตร์ (ดู คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์)
โครงสร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกำเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์. ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย.
เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สำหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม. ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์.
คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก. นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน.
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician's Apology); แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้. อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา.

องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขา คณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่น ๆ

ประวัติของคณิตศาสตร์โดยย่อ จาก อ.สุทัศน์ ยกส้าน

ช่วงปี 1000-1500 เป็นระยะเวลาที่ยุโรปกำลังตกอยู่ในยุคมืด เพราะภูมิปัญญาโบราณต่างๆ ถูกทอดทิ้ง และอารยธรรมตกต่ำ แต่ความสนใจในวิทยาการด้านคณิตศาสตร์ก็ยังบังเกิดขึ้นอีกคำรบหนึ่ง เมื่อ Gilbert แห่ง Aurillac (พ.ศ. 1481-1546) นำเลขอาหรับมาใช้ในวงการวิชาการของยุโรป และ Fibonacci แห่งเมือง Pisa ในอิตาลีได้ใช้วิธีการคำนวณเลขของชาวอาหรับในการเรียบเรียงหนังสือชื่อ Liber a baci ซึ่งแปลว่า ตำราคำนวณในปี พ.ศ. 1745 หนังสือเล่มนี้มีโจทย์คณิตศาสตร์และพีชคณิตมากมาย และมีลำดับ Fibonacci (Fibonacci sequence) ด้วย ซึ่งลำดับนี้คือ ชุดเลข 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 โดยตั้งแต่จำนวนที่ 3 ไปเป็นเลขที่ได้จากการรวมเลข 2 ตัวหน้าที่อยู่ติดมัน เช่น 2 = 1+1, 5 = 2+3 และ 34 = 13+21 เป็นต้น

เมื่อถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา (renaissance) ซึ่งเป็นเวลาที่ยุโรปมีการตื่นตัวทางวิชาการมาก เพราะมีการจัดตั้งมหาวิทยาลัย มีการประดิษฐ์เครื่องพิมพ์และมีการแปลตำราอาหรับเป็นภาษาละติน เช่น ในปี 1631 ได้มีการสร้างมหาวิทยาลัยขึ้นเป็นครั้งแรกที่เมือง Bologna ในอิตาลีให้นักศึกษาเรียนไวยากรณ์ ตรรกวิทยา เลขคณิต เรขาคณิต ดาราศาสตร์ และดนตรี ส่วนตำราที่ใช้คือ Elements ของ Euclid และ Almagest ของ Ptolemy

ส่วนการประดิษฐ์เครื่องพิมพ์ในปี พ.ศ. 1983 โดย Johann Gutenbery นั้นก็ได้ทำให้ผลงานวิชาการต่างๆ แพร่สู่สังคมได้อย่างกว้างขวางและรวดเร็วและนักศึกษาคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น ต่างก็ได้อ่านตำราชื่อ Summa de arithmetica geometrica, proportioni et proportionalita ของ Luca Pacioli ซึ่งหนา 600 หน้ากันทุกคน

การรู้จักประดิษฐ์เครื่องพิมพ์ จึงทำให้วงการคณิตศาสตร์มีมาตรฐานการใช้สัญลักษณ์ เช่น + - เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2032 ตามที่ Johann Widmanna เสนอ และในปี พ.ศ. 2100 Robert Record ก็เป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่เสนอใช้เครื่องหมาย = แสดงการเท่ากัน ส่วนเครื่องหมาย X และ ? นั้น William Oughtred และ John Pell คือผู้ที่นำมาใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2174 และ 2211 ตามลำดับ และในหนังสือชื่อ De thiende (ที่สิบ) ของ Simon Stevin ก็ได้มีการใช้ทศนิยมเป็นครั้งแรก ส่วนตำราของ Johan de Witt ชาวเนเธอร์แลนด์ ที่ชื่อ Elementa curvarum linearum ก็มีการแสดงวิธีคำนวณแบบเรขาคณิตวิเคราะห์เป็นครั้งแรก

ในปี พ.ศ. 2157 นักคณิตศาสตร์ชาวสกอตชื่อ John Napier ได้นำเรื่อง logarithm มาใช้ในการคำนวณเป็นครั้งแรก และเทคนิคนี้ได้ทำให้เกิดอุปกรณ์คำนวณซึ่งเรียกว่า slide rule ในปี พ.ศ. 2173 ทำให้แทบทุกคนในวงการวิชาการสมัยนั้น หันมาใช้อุปกรณ์นี้เป็นเวลานานร่วม 300 ปี จนกระทั่งถึงยุคคอมพิวเตอร์ที่ทุกคนหันมาใช้ pocket calculator (pc) แทน

ในสมัยศตวรรษที่ 22 ประเทศฝรั่งเศสมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากมายเช่น Rene Desceutes, Pierre de Fermat และ Blaise Pascal โดยเฉพาะหนังสือชื่อ Discours de la methode ที่ Reni Descartes เรียบเรียงนั้น ได้มีการนำพีชคณิตมาใช้ในการศึกษาเรขาคณิตเป็นครั้งแรก และมีการวิเคราะห์สมการของพาราโบลา วงรี และไฮเฟอร์โบลาด้วย ส่วน Pierre de Fermat นั้น ก็สนใจ xn+yn ทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ที่ว่า หากมีสมการ xn + yn = zn แล้วเราจะไม่สามารถหาเลข x, y, z ที่เป็นจำนวนเต็มมาแทนในสมการได้ ถ้า n มีค่ามากกว่า 2 ก็ได้รับการพิสูจน์ว่า จริง โดย Andrew Wiles ในปี 2538 Blaise Pascal เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอีกท่านหนึ่งที่มีผลงานด้านคณิตศาสตร์มากมาย เขาศึกษาโค้ง cycloid ซึ่งเป็นทางเดินของจุดๆ หนึ่งบนเส้นรอบวงของวงกลมที่กลิ้งไปบนพื้นราบโดยไม่ไกล และสร้างทฤษฎีของความเป็นไปได้ (probability)

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในช่วงเวลานี้ได้พุ่งสูงสุดเมื่อ Isaac Newton เรียบเรียง Principia mathematica ในปี พ.ศ. 2230 โดย Newton ได้คิดสร้างวิชาแคลคูลัสขึ้นมาอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์รอบดวง อาทิตย์ ฯลฯ ถึงแม้ Newton จะอ้างว่าเขาสร้างวิชาแคลคูลัสขึ้นมาเป็นคนแรก แต่ gottfred Wilhelm Leibniz ก็เป็นบุคคลแรกที่ได้ตีพิมพ์เรื่องนี้ และสัญลักษณ์ต่างๆ ที่ Leibniz ใช้เช่น ? dx นั้น นักคณิตศาสตร์ก็ยังคงใช้กันมาจนทุกวันนี้ แต่ถ้าเราจะนับผลงานกันแล้ว Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสก็ดูจะเป็นคนที่มีผลงานมากที่สุด เพราะเขาคือผู้ใช้สัญลักษณ์ e (= 2.718...) i(=? -1), ? (=ผลบวก) และ ? (n? ) (ฟังก์ชันของ x) เป็นคนแรก นอกจากนี้ Eules ก็ยังมีผลงานด้านสมการอนุพันธ์ ทฤษฎีจำนวนและสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติกับฟังก์ชัน ex ponential คือ e i?) = cos? + i sin? ด้วย

การปฏิวัติในฝรั่งเศส และการขึ้นครองอำนาจของ Napoleon Bonaparte (พ.ศ. 2312-2364) ได้ทำให้คณิตศาสตร์รุ่งโรจน์มาก เพราะ Napoleon ทรงสนพระทัยคณิตศาสตร์ การจัดตั้ง Ecole Polytechnique ขึ้นที่ปารีสได้ ทำให้สถาบันมีนักคณิตศาสตร์ระดับเยี่ยมเช่น Laplace, Lagrange และ Cauchy มาฝึกสอนนิสิตและวิจัยหลายคน

Carl Friedrich Gauss (พ.ศ. 2320-2398) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลก เขามีผลงานมากมายจำนวนเชิงซ้อน (a+bi โดยที่ i2 = -1) และยังเป็นผู้ที่สามารถสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าได้ โดยใช้วงเวียนกับไม้บรรทัดเท่านั้นอีกด้วย

กษัตริย์ Oscar ที่ 2 แห่งสวีเดน และนอร์เวย์ (พ.ศ. 2372-2450) เป็นประมุขของประเทศที่สนใจคณิตศาสตร์มาก เมื่อพระองค์ทรงมีพระชนมายุครบ 5 รอบ พระองค์ได้ทรงจัดให้มีการประกวดผลงานทางคณิตศาสตร์ขึ้น และผู้พิชิตรางวัลในครั้งนั้นคือ Henri Poincare ซึ่งได้วิเคราะห์การเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ โลกและดวงจันทร์อย่างถูกต้อง Poincare เป็นนักคณิตศาสตร์ที่เกือบพบทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษก่อน Einstein Bertrand Russell เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนหนึ่งแห่งศตวรรษที่ 25 เขาคือผู้คิดปัญหา Russell paradox ในปี 2445 ซึ่งกล่าวว่า “ในหมู่บ้านแห่งหนึ่งมีช่างตัดผม ผู้ที่ตัดผมให้ทุกคนที่ตัดผมให้ตนเองไม่ได้ ถามว่า ใครตัดผมให้ช่างตัดผมคนนั้น”

Srinivasa Ramanujan เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียที่ยิ่งใหญ่อีกคนหนึ่ง ซึ่งมีผลงานด้านทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์ แต่ได้เสียชีวิต ขณะที่มีอายุน้อยเพียง 32 ปี และในระหว่างที่นอนพักในโรงพยาบาลนั้น G.H. Hardy แห่งมหาวิทยาลัย Cambridge ไปเยี่ยมและเอ่ยบอก Ramanujan ว่า รถแท็กซี่ที่เขาเดินทางมานั้น มีเลขทะเบียนรถ 1729 ซึ่งไม่น่าสนใจเลย แต่ Ramanujan กลับตอบว่า 1729 เป็นเลขที่น่าสนใจมาก เพราะ 1729 = 103 + 93 และ = 13 +123

ปี พ.ศ. 2435 อันเป็นปีครบ 400 แห่งการพบทวีปอเมริกาของ Columbus บรรดานักคณิตศาสตร์ได้มีการประชุมเป็นครั้งแรกที่ Chicago และตั้งชื่อการประชุมว่า World Congress of Mathematics การประชุมคราวนั้น มีผู้เข้าประชุม 45 คน แต่เมื่อถึงวันนี้ ทุกครั้งที่มีการประชุม International Congresses of Mathematics จะมีผู้เข้าร่วมประชุมหลายพันคนจากทั่วโลก และเมื่อ 2 ปีก่อนนี้ วงการคณิตศาสตร์มีการจัดตั้งรางวัล Abel ซึ่งเทียบเท่ารางวัลโนเบลทางคณิตศาสตร์ขึ้น นอกจากนี้ก็มีการมอบเหรียญ Fields ให้แก่นักคณิตศาสตร์ที่มีผลงานโดดเด่น และมีอายุน้อยกว่า 35 ปี ทุก 4 ปีด้วย

ณ วันนี้คณิตศาสตร์ได้เข้ามามีบทบาทในการอธิบายธรรมชาติ ตั้งแต่รูปทรงของดอกทานตะวัน ผลึก เกล็ดหิมะ เกม คอมพิวเตอร์ ฯลฯ จนกระทั่งรูปทรงต่างๆ ทางศิลปะ และจะมีบทบาทมากขึ้นๆ อีกในอนาคต ทั้งนี้คงเป็นเพราะพระเจ้าเป็นนักคณิตศาสตร์ดังที่ Galileo คิดครับ

สุทัศน์ ยกส้าน ภาคีสมาชิก ราชบัณฑิตยสถาน

เส้นเวลาของคณิตศาสตร์

สมัยกรีก อียิปต์และก่อนหน้า
530 ก่อน ค.ศ. - พีทาโกรัส ศึกษาและคิดค้นเรขาคณิต รวมทั้งนำคณิตศาสตร์มาใช้อธิบายการสั่นของเส้นเชือก นอกจากนี้ลูกศิษย์ของเขายังได้ค้นพบจำนวนอตรรกยะจากรากที่สองของ 2 (มีเรื่องเล่ากันว่าพีทาโกรัสผู้ซึ่งบูชาตัวเลขดั่งพระเจ้า ตกใจมากกับการค้นพบตัวเลขซึ่งไม่สามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนนี้ จึงสั่งให้ลูกศิษย์เซ่นไหว้วัว 100 ตัวในการขอขมาที่ไปพบกับความลับของพระเจ้า),
370 ก่อน ค.ศ. - ยุโดซุสแห่งไซน์ดุส คิดค้น method of exhaustion ซึ่งเป็นวิธีที่ทรงพลังในการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต ซึ่งเป็นเทคนิคที่อาร์คิมีดีสเชี่ยวชาญมากในเวลาต่อมา และเป็นหนึ่งในรากฐานสำคัญของแคลคูลัส,
350 ก่อน ค.ศ. - อริสโตเติล คิดค้นตรรกศาสตร์หรือศาสตร์แห่งการให้เหตุผลในตำรา Organon,
300 ก่อน ค.ศ. - ยุคลิด เขียนตำราเรขาคณิตชื่อ อีลีเมนท์ส ซึ่งเป็นตำราที่นักคณิตศาสตร์ทั้งในอดีตและปัจจุบันยกย่องว่า สมบูรณ์ใกล้เคียงกับคณิตศาสตร์สมัยใหม่มาก โดยใช้วิธีการทางสัจพจน์เป็นฐานของทฤษฎีบททั้งหมด ภายในนั้นมีบทพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีไม่จำกัด (เป็นจำนวนอนันต์) รวมทั้งขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด และการพิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต นักประวัติศาสตร์ชาวยุโรปบางท่านกล่าวว่าตำราเล่มนี้เป็นหนังสือที่มีผู้ อ่านมากที่สุดในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติรองมาจากคัมภีร์ไบเบิล,
260 ก่อน ค.ศ. - อาร์คิมิดีส คำนวณค่า ? ได้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สอง โดยใช้ method of exhaustion ของยุโดซุส จากการประมาณรูปวงกลมด้วยรูปหลายเหลี่ยมทั้งภายนอกและภายในวงกลมนั้น แล้วใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการประมาณความยาวของเส้นรอบวง โดยอาร์คิมิดีสสามารถคำนวณความยาวรอบรูปของรูป 96 เหลี่ยม (เพื่อใช้ประมาณแทนรูปวงกลม) ได้ทั้งๆ ที่ยังไม่มีระบบตัวเลขฮินดู-อารบิกและพีชคณิต นอกจากนี้อาร์คิมิดีสยังได้แสดงการคำนวณพื้นที่ใต้รูปพาราโบลาโดยใช้ method of exhaustion อีกเช่นกัน

240 ก่อน ค.ศ. - เอราทอสเทนีส คิดค้นตะแกรงของเอราทอสเทนีส ซึ่งเป็นอัลกอริทึมที่ใช้หาจำนวนเฉพาะได้อย่างรวดเร็ว (ในสมัยนั้น)
225 ก่อนค.ศ. - อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์จา เขียนตำรา On Conic Sections ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับภาคตัดกรวยในรูปแบบต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น วงรี พาราโบลา หรือ ไฮเพอร์โบลา,
140 ก่อนค.ศ. - ฮิบปาชุส วางรากฐานของตรีโกณมิติ,
ประมาณ ค.ศ. 200 - ทอเลมีแห่งอเล็กซานเดรีย เขียนตำรา อัลมาเกส (ภาษาละติน: Almagest แปลว่า หนังสือที่ยิ่งใหญ่) ซึ่งเป็นตำราดาราศาสตร์ที่สำคัญที่สุดในยุคนั้น และได้รับการยกย่องมากในยุคกลางโดยนักคณิตศาสตร์มุสลิม,
ค.ศ. 250 - ไดโอฟานตุส เขียนหนังสือ Arithmetica ซึ่งเป็นตำราฉบับแรกที่พูดถึงระบบพีชคณิต

สมัยอาหรับ (ยุคกลาง)
ค.ศ. 400 - ค.ศ. 550 - นักคณิตศาสตร์ฮินดูสร้างสัญลักษณ์แทนเลขศูนย์ ในระบบตัวเลข,
ค.ศ. 750 - อัล-ควาริสมี นักคณิตศาสตร์มุสลิมผู้ซึ่งได้ชื่อว่าเป็นบิดาแห่งพีชคณิต คิดค้นทฤษฎีเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้น และระบบสมการกำลังสอง และชื่อของเขาเป็นที่มาของคำว่า อัลกอริทึม ที่ใช้กันในปัจจุบัน

ยุคฟื้นฟูศิลปะวิทยาการ (เรอเนซองต์)
ค.ศ. 1520 - สคิปิโอเน เดล เฟอโร คิดค้นคำตอบในรูปแบบราก ของสมการกำลังสาม แบบลดรูป (คือสมการกำลังสาม ที่สัมประสิทธิ์ของเทอม x2 เท่ากับ 0) ได้สำเร็จ แต่ว่าไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานนี้ และได้ถ่ายทอดให้กับลูกศิษย์คนสนิทชื่อ "อันโตนิโอ ฟิออ" คนเดียวเท่านั้น
ค.ศ. 1535 - อันโตนิโอ ฟิออ ซึ่งได้รับถ่ายทอดเทคนิคจาก เดล เฟอโร ได้ท้า นิคโคโล ฟอนตาน่า หรือ ทาร์ทากลียา แข่งทำโจทย์คณิตศาสตร์ โดยต่างคนต่างให้โจทย์อีกฝ่ายคนละ 30 ข้อ โดยฟิออได้ให้ทาร์ทากลียาทำโจทย์สมการกำลังสาม ลดรูปทั้งหมด 30 ข้อ และในที่สุด ทาร์ทากลียาก็คิดค้นคำตอบในรูปแบบรากได้เช่นเดียวกันกับ เดล เฟอโร และชนะการแข่งขันครั้งนั้น อย่างไรก็ตาม ทาร์ทากลียาก็ไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นนี้เช่นกัน,
ค.ศ. 1539 - จีโรลาโม คาร์ดาโน เรียนรู้วิธีในการหาคำตอบสมการกำลังสามลดรูปจากทาร์ทากลียา และในเวลาต่อมา คาร์ดาโนก็สามารถคิดค้นวิธีหาคำตอบในรูปแบบรากของสมการกำลังสามแบบสมบูรณ์ ได้,
ค.ศ. 1540 - โลโดวิโค เฟอรารีซึ่งเป็นลูกศิษย์ของคาร์ดาโน คิดค้นวิธีหาคำตอบในรูปแบบรากของสมการกำลังสี่ ได้สำเร็จ,
ค.ศ. 1614 - จอห์น นาเปียร์ คิดค้นลอการิทึมได้สำเร็จหลังจากทุ่มเทมานับสิบปี และตีพิมพ์ผลงานนี้ใน Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio,
ค.ศ. 1619 - เรอเน เดส์การตส์ และ ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ คิดค้นเรขาคณิตวิเคราะห์ได้ ในเวลาใกล้เคียงกัน,
ค.ศ. 1629 - ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ ได้คิดค้นรากฐานบางส่วนของแคลคูลัสอนุพันธ์,
ค.ศ. 1637 - ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ ได้จดบันทึกเล็กๆ ในหนังสือ Arithmetica ของไดโอแฟนตุสว่า ผมสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ แต่ว่าที่ว่างตรงนี้มันน้อยเกินไปที่จะเขียนบทพิสูจน์ ทฤษฎีบทที่ว่านี้ก็คือ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ซึ่งไม่มีใครพิสูจน์ได้เลยเป็นเวลานานเกือบ 400 ปี จนกระทั้งแอนดรูว์ ไวล์ได้ให้บทพิสูจน์ในปี ค.ศ. 1995,
ค.ศ. 1654 - แบลส์ ปาสกาล และ ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ ได้ร่วมมือกันคิดค้นรากฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

คริสต์ศตวรรษที่ 17 และ 18 (ยุคคลาสสิก)
ค.ศ. 1665 - ไอแซก นิวตัน พิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส และสร้างแคลคูลัสขึ้นมาเพื่อแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ในฟิสิกส์ โดยนิวตันเรียกแคลคูลัสว่า วิธีแห่งการเปลี่ยนแปลง ,
ค.ศ. 1671 - เจมส์ เกรกอรี คิดค้นอนุกรมอนันต์ในการแทนฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ซึ่งเป็นอนุกรมอนันต์ ที่มีการนำไปประยุกต์ใช้อย่างแพร่หลาย เช่น นำไปใช้คำนวณค่า ?,
ค.ศ. 1673 - กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ประดิษฐ์แคลคูลัสของเขาเองโดยไม่ขึ้นกับของนิวตัน แคลคูลัสของไลบ์นิซนั้นมีรากฐานมาจากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์โดยตรงซึ่งต่างจาก นิวตันที่มีรากฐานมาจากการประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง โดยประเด็นที่ว่าใครเป็นผู้คิดค้นแคลคูลัสเป็นคนแรกนั้นถูกถกเถียงกันมานาน นับศตวรรษ ชื่อ แคลคูลัส มาจากฝั่งของไลบ์นิซ นอกจากนั้นสัญลักษณ์ทางแคลคูลัสในคณิตศาสตร์ปัจจุบันเราก็ใช้ของไลบ์นิซ เนื่องจากเป็นสัญลักษณ์ที่ช่วยให้จดจำกฎต่างๆ ของแคลคูลัสได้ง่ายกว่า (ในทำนองเดียวกันกับ สัญลักษณ์ของดิแรกในกลศาสตร์ควอนตัม)
ค.ศ. 1675 - ไอแซก นิวตัน คิดค้นการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเพื่อหาคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น เรียกว่าวิธีของนิวตัน หรือ วิธีของนิวตันและราฟสัน เนื่องจากเวลาต่อมานักคณิตศาสตร์ชื่อราฟสันก็คิดค้นวิธีเดียวกันนี้ได้โดย ไม่ขึ้นกับนิวตัน,
ค.ศ. 1691 - กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ คิดค้นเทคนิคในการแยกตัวแปรของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ,
ค.ศ. 1696 - กุยลอมเมอ เดอ โลปิตาล (ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของโยฮัน เบอร์นูลลี ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของไลบ์นิซอีกที) ได้คิดค้นกฎของโลปีตาล ในการคำนวณหาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป 0/0,
ค.ศ. 1696 - โยฮัน เบอร์นูลลี หาคำตอบในปัญหา brachistochrone problem ได้สำเร็จและเป็นจุดเริ่มต้นของแคลคูลัสของการแปรผัน,
ค.ศ. 1712 - บรู๊ค เทย์เลอร์ พัฒนาอนุกรมเทย์เลอร์ได้สำเร็จ,
ค.ศ. 1722 - อับราฮัม เดอ มอยเร ได้แสดง De Moivre's theorem ซึ่งทำให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันของตรีโกณมิติและจำนวนเชิงซ้อน,
ค.ศ. 1730 - เจมส์ สเติรริง ตีพิมพ์ The Differential Method,
ค.ศ. 1733 - อับราฮัม เดอ มอยเร นำ การกระจายตัวแบบปกติในการประมาณค่าของการกระจายตัวแบบทวินามในทฤษฎีความน่าจะเป็น,
ค.ศ. 1734 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คิดค้น integrating factor technique ในการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง,
ค.ศ. 1736 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ แก้ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองโคนิกส์เบิร์ก ได้สำเร็จและส่งผลให้ทฤษฎีกราฟกำเนิดขึ้นมาเป็นสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์,
ค.ศ. 1739 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คิดวิธีมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นแบบเอกพันธ์ที่มี สัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่ได้สำเร็จ,
ค.ศ. 1761 - โทมัส เบย์ ได้สร้างทฤษฎีบทของเบย์ขึ้นมาในทฤษฎีความน่าจะเป็น,
ค.ศ. 1762 - โจเซพ หลุยส์ ลากรองช์ คิดค้น divergence theorem,
ค.ศ. 1796 - คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ พิสูจน์ว่า รูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนเท่านั้น ซึ่งนับเป็นการต่อยอดความรู้กรีกที่นิ่งมาราว 2000 ปีได้สำเร็จ,
ค.ศ. 1796 - เอเดรียน-แมรี เลอจองด์ ให้ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ,
ค.ศ. 1799 - คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ให้บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต ที่บอกว่า ทุกๆ สมการพหุนามจะมีคำตอบในรูปจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงบทบาทที่สำคัญที่สุดของจำนวนเชิงซ้อนในพีชคณิต

คริสต์ศตวรรษที่ 19
ค.ศ. 1801 - ความเรียงของเกาส์ในเรื่องทฤษฎีจำนวนชื่อ Disquisitiones Arithmeticae ได้รับการตีพิมพ์เป็นภาษาละติน,
ค.ศ. 1805 - เอเดรียน-แมรี เลอจองด์ คิดค้นวิธีกำลังสองต่ำสุดเพื่อใช้ในปัญหาการปรับเส้นโค้ง เพื่อให้ได้เส้นโค้งที่มี ค่าผิดพลาดเฉลี่ย น้อยที่สุด ,
ค.ศ. 1807 - โจเซพ ฟูเรียร์ ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับอนุกรมฟูเรียร์ หรืออนุกรมตรีโกณมิตินั่นเอง,
ค.ศ. 1817 - แบร์นาร์ด โบลซาโน ได้ให้บทพิสูจน์อย่างเคร่งครัดของทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ซึ่งกล่าวว่า สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ถ้ามีจุดในโดเมนที่ให้ค่าบวกและค่าลบอย่างน้อยอย่างละหนึ่งจุด ฟังก์ชันนี้จะต้องมีจุดในโดเมนอย่างน้อยหนึ่งจุด และต้องอยู่ระหว่างสองจุดดังกล่าว ที่ให้ค่า 0,
ค.ศ. 1824 - นีลส์ เฮนริก อาเบล ได้ให้บทพิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบในรูปแบบรากสำหรับสมการพหุนามอันดับห้าใดๆ เป็นการให้คำตอบของปัญหาที่นักคณิตศาสตร์ทั้งหลายเฝ้าพยายามค้นคว้ามาราว 300 ปีได้สำเร็จ,
ค.ศ. 1825 - ออกัสติน หลุยส์ โคชี่เสนอ ทฤษฎีบทอินทรีกรัลของโคชี (Cauchy integral theorem),
ค.ศ. 1825 - โยฮันน์ ปีเตอร์ กุสตาฟ ดิริชเลต์ และ เลอจองด์ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในกรณี n = 5,
ค.ศ. 1825 - อันเดร แมรี แอมแปร ค้นพบ ทฤษฎีบทของสโต้คส์,
ค.ศ. 1828 - จอร์จ กรีน พิสูจน์ทฤษฎีบทของกรีน,
ค.ศ. 1829 - นิโคไล อิวาโนวิช โลบาชอฟสกี ตีพิมพ์ผลงาน เรขาคณิตนอกแบบยุคลิดแบบไฮเปอร์โบลิก,
ค.ศ. 1832 - ?variste Galois presents a general condition for the solvability of algebraic equations, thereby essentially founding group theory and Galois theory,
ค.ศ. 1832 - Peter Dirichlet proves Fermat's last theorem for n = 14,
ค.ศ. 1835 - Peter Dirichlet proves Dirichlet's theorem about prime numbers in arithmetical progressions,
ค.ศ. 1837 - Pierre Wantsel proves that doubling the cube and trisecting the angle are impossible with only a compass and straightedge, as well as the full completion of the problem of constructability of regular polygons
ค.ศ. 1841 - Karl Weierstrass discovers but does not publish the Laurent expansion theorem,
ค.ศ. 1843 - Pierre-Alphonse Laurent discovers and presents the Laurent expansion theorem,
ค.ศ. 1843 - William Hamilton discovers the calculus of quaternions and deduces that they are non-commutative,
ค.ศ. 1847 - George Boole formalizes symbolic logic in The Mathematical Analysis of Logic, defining what are now called Boolean algebras,
ค.ศ. 1849 - George Gabriel Stokes shows that solitary waves can arise from a combination of periodic waves,
ค.ศ. 1850 - Victor Alexandre Puiseux distinguishes between poles and branch points and introduces the concept of essential singular points,
ค.ศ. 1850 - George Gabriel Stokes rediscovers and proves Stokes' theorem,
ค.ศ. 1854 - Bernhard Riemann introduces Riemannian geometry,
ค.ศ. 1854 - Arthur Cayley shows that quaternions can be used to represent rotations in four-dimensional space,
ค.ศ. 1858 - August Ferdinand M?bius invents the M?bius strip,
ค.ศ. 1859 - Bernhard Riemann formulates the Riemann hypothesis which has strong implications about the distribution of prime numbers,
ค.ศ. 1870 - Felix Klein constructs an analytic geometry for Lobachevski's geometry thereby establishing its self-consistency and the logical independence of Euclid's fifth postulate,
ค.ศ. 1873 - ชาร์ลส์ เฮอร์ไมท์ พิสูจน์ได้ว่า e เป็นจำนวนอดิศัย,
ค.ศ. 1873 - Georg Frobenius presents his method for finding series solutions to linear differential equations with regular singular points,
ค.ศ. 1874 - เกออร์ก คันทอร์ shows that the set of all real numbers is uncountably infinite but the set of all algebraic numbers is countably infinite. Contrary to widely held beliefs, his method was not his famous diagonal argument, which he published three years later. (Nor did he formulate set theory at this time.)
ค.ศ. 1878 - Charles Hermite solves the general quintic equation by means of elliptic and modular functions
ค.ศ. 1882 - Ferdinand von Lindemann proves that ? is transcendental and that therefore the circle cannot be squared with a compass and straightedge,
ค.ศ. 1882 - Felix Klein invents the Klein bottle,
ค.ศ. 1895 - Diederik Korteweg and Gustav de Vries derive the KdV equation to describe the development of long solitary water waves in a canal of rectangular cross section,
ค.ศ. 1895 - เกออร์ก คันทอร์ publishes a book about set theory containing the arithmetic of infinite cardinal numbers and the continuum hypothesis,
ค.ศ. 1896 - Jacques Hadamard and Charles de La Vall?e-Poussin independently prove the prime number theorem,
ค.ศ. 1896 - Hermann Minkowski presents Geometry of numbers,
ค.ศ. 1899 - เกออร์ก คันทอร์ ค้นพบข้อขัดแย้งในทฤษฎีเซตของเขา,
ค.ศ. 1899 - ดาฟิด ฮิลแบร์ท เสนอสัจพจน์ทางเรขาคณิตที่มีความต้องกันในตัวเองใน Foundations of Geometry,

คริสต์ศตวรรษที่ 20
ค.ศ. 1900 - ดาฟิด ฮิลแบร์ท เสนอปัญหา 23 ข้อของฮิลแบร์ทที่กรุงปารีส โดยฮิลแบร์ทตั้งใจให้เป็นปัญหาแห่งศตวรรษใหม่ กลุ่มปัญหาที่ลึกซึ้งเหล่านี้ช่วยกระตุ้นวงการคณิตศาสตร์ในขณะนั้นให้พัฒนา ขึ้นเป็นอย่างมาก,
ค.ศ. 1903 - เอ็ดมันด์ ลันเดาได้ให้บทพิสูจน์ที่ค่อนข้างง่ายของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ,
ค.ศ. 1908 - เอิร์นส เซอเมโลได้นิยามกลุ่มสัจพจน์ของทฤษฎีเซตขึ้น เพื่อที่จะหลีกเลี่ยงข้อขัดแย้งที่คันทอร์และรัสเซลล์พบ,
ค.ศ. 1913 - ศรีนิวาส รามานุชัน ส่งทฤษฎีบทจำนวนมากชุดหนึ่ง (แต่ไม่ได้ให้บทพิสูจน์) ไปยังก็อดเฟรย์ ฮาร์ดีแห่งมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.
ค.ศ. 1914 - Srinivasa Aaiyangar Ramanujan publishes Modular Equations and Approximations to ?,
ค.ศ. 1928 - John von Neumann begins devising the principles of game theory and proves the minimax theorem,
ค.ศ. 1931 - เคิร์ท เกอเดล พิสูจน์ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล ที่บอกว่าระบบรูปนัย ถ้ามีประสิทธิภาพเพียงพอแล้ว จำเป็นที่จะต้องไม่สมบูรณ์ หรือไม่เช่นนั้นก็จะไม่มีความต้องกัน,
ค.ศ. 1933 - Andrey Nikolaevich Kolmogorov publishes his book Basic notions of the calculus of probability (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung) which contains an axiomatization of probability based on measure theory,
ค.ศ. 1940 - Kurt G?del shows that neither the continuum hypothesis nor the axiom of choice can be disproven from the standard axioms of set theory,
ค.ศ. 1943 - Kenneth Levenberg proposes a method for nonlinear least squares fitting,
ค.ศ. 1948 - John von Neumann mathematically studies self-reproducing machines,
ค.ศ. 1949 - John von Neumann computes ? to 2,037 decimal places using ENIAC,
ค.ศ. 1960 - C. A. R. Hoare invents the quicksort algorithm,
ค.ศ. 1963 - Paul Cohen uses his technique of forcing to show that neither the continuum hypothesis nor the axiom of choice can be proven from the standard axioms of set theory,
ค.ศ. 1994 - Andrew Wiles proves part of the Taniyama-Shimura conjecture and thereby proves Fermat's last theorem,
ค.ศ. 1999 - the full Taniyama-Shimura conjecture is proved.
คริสต์ศตวรรษที่ 21 (ปัจจุบัน)
ค.ศ. 2000 - สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ได้ประกาศให้เงินรางวัลหนึ่งล้านเหรียญสหรัฐฯ แก่ผู้ที่สามารถหาคำตอบปัญหาข้อใดข้อหนึ่งในปัญหา 7 ข้อของเคลย์ได้,